Что такое функция и производная?Как искать наибольшее и наименьшее значение функции?

 

(здесь рассмотрены основные теоретические моменты,которые необходимы для решения заданий B8,B11 в ЕГЭ по математике. В ЕГЭ 2012 года B11 стала B14, а в B11 нужно решить простенькую стереометрическую задачку.)  

Понятие “множество” не имеет строго математического определения. Это аксиоматическое понятие, то есть его можно только объяснить, пользуясь какими-то интуитивно-наглядными методами. Например, из интуитивных соображений ясно, что множество-это совокупность чего-нибудь. Именно так и будем понимать это понятие в дальнейшем. Теперь введём понятие “функции”. Оно имеет строгое определение и его нужно понимать. Хронически все школьники на вопрос “что такое функция?” отвечают “это x”. Так вот это совершенно не верно. Итак…

                                               Функции

 

Рассмотрим два множества и

Так вот функция-это правило(!) , по средством которого из элементов X делают элементы Y. Причём оно [правило] должно удовлетворять условию: у каждого элемента X свой и только один элемент из Y (cм.рис.)

Факт того, что задана функция, записывают так

Множество X называют областью определения (задания) функции, а Y-областью значения

Как правило, функцию задают с помощью какого либо математического выражения. Тогда за X берут так называемую естественную область определения: например, если это дробно-рациональное выражение, то элементы  X-это все х, которые не обращают знаменатель в ноль (почему на ноль делить нельзя?) и т.д., то есть в этом случае область определения функции есть ОДЗ выражения, которое задаёт её.  

Функцию любят показывать на графике - множество точек на координатной плоскости.

Важное понятие сложной функции. Оно изображено на рисунке

На нём отображена идея сложной функции: Y получается не сразу из Х, а через промежуточное множество Z.

Например  не сложная функция

                  -сложна функция, так как прежде, чем получить y, мы сначала прибавляем ко всем x один (получаем множество Z).А затем уже,  возводя  в квадрат,получаем множество Y.

Предел функции

Это очень важно понятие. Для начала введём следующие объекты.

Дельта окрестность точки a

Это такое множество X,что  выполняется неравенство  (см.рис.)

Выражение “икс стремиться к a”, означает, что рассматривают сколь угодно маленькую дельта-окрестность точки a.

Определение (предела функции). Точка b-называется пределом функции  ,если

За этими “иероглифами” скрывается следующее. Предел b –это такая точка, что для любой, эпсилон-окрестности которой найдётся такая дельта-окрестность точки a, что

 (). Это наглядно можно показать на картинке(см.рис.)

То есть предел имеет наглядную интуитивную интерпретацию(см.рис.): есть функции для которых можно указать точки и их дельта-окрестность такую что значения функции в точках этой дельта окрестности не будут выходит за сколь угодно малую эпсилон -окрестность точки предела

Производные

Приращение аргумента  в точке - это величина, которая равна разности между текущим значением аргумента   и  рассматриваемой точки  , то есть

Приращение функции -это разность значений функции в текущей точки и рассматриваемой, то есть 

Определение(производной): производная функции в точке   это величина предела(если он существует) отношения приращений функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, то есть  

Предел функции обозначается так , то есть

Геометрический смысл производной. Пусть в точке  проведена касательная.  Производная-это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке

Бонус к теме(формула уравнения касательной). - уравнение касательной к графику функции в точке

Для успешной сдачи ЕГЭ по математике школьники должны уметь искать производные функций. Для этого необходимо помнить таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования.

Таблица производных элементарных функций

Эту таблицу рекомендуется выучить. Применять её можно только к соответствующим элементарным функциям. Над элементарными функциями можно выполнять все арифметические действия, а также строить их композиции (сложные функции).

Поэтому необходимо при поиске производных использовать ещё и правила дифференцирования.

Правила дифференцирования(поиска производных)

Замечание: при работе со сложной функцией рекомендуется осознать “Что такое функция?”

Применение производных

Для успешной сдачи ЕГЭ по математике нужно уметь находить локальные экстремумы функции и находить максимальное (минимальное) значение функции на отрезке.

Вначале я расскажу немного теории на эту тему, а потом дам алгоритм использования теории. Конкретные задачи решим на форуме.

Определение(локального максимума(минимума)). Точка  называется точкой локального максимума(минимума) функции на ,если  

Локальный максимум или минимум называется экстремумом

Определение возрастающей (убывающей) функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на (a,b), если для любых  таких, что  

Иначе говоря, функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. А функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке). если производная функции на промежутке положительна(отрицательна) функция возрастает(убывает)

Теорема (необходимое условие экстремума). если -экстремум функции  ,то

 (или не существует)

Теорема (достаточное условие максимума(минимума)).экстремум  функции будет точкой максимума(минимума), если слева от него функция возрастает(убывает), а справа убывает(возрастает).

Алгоритм поиска наибольшего(наименьшего) значения функции на отрезке.

 

 

Типичная задача для ЕГЭ по математике: найти максимум  функции на отрезке

. Отрезок, разумеется, входит в область определения функции. Для решения этой задачи нужно выполнить следующие шаги

1. Найти производную функции
2. Приравнять её к нулю
3. Решить получившееся уравнение. Найденные корни - это экстремумы функции.
4. Отметить эти точки на числовой оси. Разбить её на интервалы.
5. На каждом интервале определить знак производной
6. Воспользовавшись достаточным условием возрастания(убывания) функции определить интервалы, где функция убывает и возрастает.
7. Используя достаточное условие максимума(минимума) функции определить типы экстремума(-ов) функции.
8.  Вычислить значения функции в точках экстремума функции
9. Вычислить значения функции на концах рассматриваемого отрезка
10. Наибольшее значение в п.8 и п.9 будет искомым максимумом функции, а наименьшее - минимумом.

Рассмотренные здесь вопросы необходимы для успешного решения задач B8,B11 ЕГЭ по математике. Обсудить эти и другие вопросы можно на нашем форуме