В этой статье я расскажу об основных теоретических основах метода координат ,который необходим для решения некоторых задач уровня C2 части2 ЕГЭ 2010 по математике. В таких задач обычно требуется найти угол между прямыми или между плоскостями, или между прямой и плоскостью, а также расстояние между аналогичными объектами. Для этого удобно использовать векторы и метод координат. О векторах подробно рассказано здесь

Напомню две формулы и два критерия. Пусть заданы два вектора  и . Тогда скалярное произведение этих векторов равно

А косинус угла между этими  векторами равен

Числитель этой формулы- скалярное произведение векторов  и

Знаменатель- произведение длин (модулей, абсолютных величин) этих векторов. Кстати длина любого вектора , который задан координатами можно вычислять по формуле 

Далее нам понадобятся в жизни две теоремы

Теорема 1(критерий перпендикулярности двух векторов). Два вектора перпендикулярны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 2(критерий коллинеарности двух векторов). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны

Теперь рассмотрим следующие моменты.

Уравнение прямой проходящей через данную точку и параллельна заданному вектору(канонические уравнения прямой)

Пусть задана точка  M(x0;y0;z0), лежащая на прямой L, а также вектор ={m;n;k} параллельный прямой L. найдём уравнение этой прямой. Произвольная точка T(x;y;z) будет лежать на этой прямой, если  коллинеарен вектору . Тогда согласно критерию коллинеарности векторов имеем

- уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельная заданному вектору

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Пожалуй, это самый распространённый случай в приложениях(в том числе и для задачи C2)

Пусть требуется найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

и  . Фактически это предыдущий случай если за направляющий вектор взять

Тогда искомое уравнение примет вид

Как работает теория можно посмотреть на нашем форуме