Задания B3 в КИМах ЕГЭ по математике

В заданиях B3 предлагается участнику ЕГЭ решить какое-либо уравнение из школьной программы по математике: алгебраическое, тригонометрическое, показательное, логарифмическое.

Алгебраические уравнения

Существуют четыре типа алгебраических уравнений: линейное, квадратное, дробно-рациональное, иррациональное. Любое из этих уравнений может попасться в B3. Для заданий B3 уравнения подбираются наипростейшего вида, решить которые можно простейшими методиками.

Рассмотрим примеры

Линейные уравнения

Это такие уравнения, в которых икс находится ни в дробях ни в корнях, а стоит в первой степени слева один одинёшенек. Решаются они путём переноса всех слагаемых с иксом налево, а без икса- направо. Число, которое получится справа делится на число, которое стоит перед иксом слева.

Пример

Это типичный пример линейного уравнения, которое может встретиться Вам в ЕГЭ по математике в B3. Здесь уже никуда ничего переносить не надо. Просто делим то, что справ на число перед иксом слева

То есть -22 – корень этого уравнения

Ответ: -22

Как Вы видите, главное здесь- не ошибиться в делении дробей(не забыть перевернуть нижнюю дробь и умножить)

Квадратные уравнения

Они рассмотрены на форуме: Квадратные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения- это такие уравнения, которые содержат дробь с иксами. Простейший вид дробно-рационального уравнения представлен ниже.

                                                                                                                                                                                                        (***)

Алгоритм решения такого уравнения виден из смысла этого выражения: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет. Таким образом, приравниваем числитель к нулю. Решаем получившиеся уравнением. И обязательно нужно проверить нет ли среди получивших корней, котрые обращают знаменатель в ноль(если есть их просто нужно отбросить)

Пример

Решите уравнение

В таком виде ни в коем случае нельзя приравнивать числитель к нулю. Прежде чем это сделать, это уравнение нужно преобразовать к виду (***). Для этого перенесём всё налево и найдём общий знаменатель

Далее рассматриваем

В числителе раскроем скобки

Вот теперь числитель можно приравнивать к нулю

Оба корня не обращают в ноль знаменатель, значит они искомые. На ЕГЭ в таких случаях Вас попросят в задании найти произведение корней или выписать наибольший(наименьший) и т.д. Допустим нам надо найти сумму корней:сложив их, получим -11.

Ответ:-11

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения- это уравнения, в которых икс стоит в выражении под корнем.

В B3 иррациональные уравнения имеют вид

Возводим его в квадрат и решаем полученное уравнение.

Пример

Возводим в квадрат

5- искомый корень( нужно убедиться, что он искомый, то есть не обращает подкоренное выражение в отрицательное число. Короче говоря, нужно сделать проверку: подставить в исходное уравнение)

Ответ: 5

Пример

Возводим в квадрат

9-это искомый ответ (обязательно нужно убедиться в этом с помощью проверки)

Ответ: 9

Пример

Возводим в квадрат

59-это искомый корень

Ответ: 59

Показательные уравнения

Грубо говоря, это такие уравнения, в которых какое либо число возводится в икс(или алгебраическое выражение с иксом). Формальная запись типичного показательного

(*)

Решается оно просто: отбрасывается a и решается уравнение

,  из которого находятся искомые икс.

Рассмотрим типичные примеры

Пример

Алгоритм решения

• Нужно получить вид, как здесь (*). Для этого заметим, что

• Тогда уравнение примет вид

• Теперь отбрасываем двойки и приравниваем показатели и решаем

-1- это искомый корень

Ответ: -1

Пример

Действуем также как и в предыдущем примере. Для этого вспоминаем, что

Тогда имеем

4- искомое решение

Ответ: 4

Пример

2-это ответ

Ответ: 2

Пример

• Вспоминаем и

• Тогда

14-это ответ

Ответ:14

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения- это такие уравнения, в которых икс находится в аргументе логарифма. Общий вид такого уравнения представлен ниже.

(**)

Для его решения нужно отбросить логарифм и решить получившиеся уравнение(в B3 оно получается алгебраическим)

Пример

Решение

Отбрасываем логарифм

3-искомый ответ

Ответ: 3

В логарифмических уравнениях главное помнить, что прежде, чем отбрасывать логарифмы вид уравнения должен быть, как здесь (**), то есть справа и слева стоят только логарифмы по одинаковому основанию

Пример

Вот пример когда сразу нельзя отбрасывать логарифмы, а нужно для начала получить вид (**), то есть преобразовать правую часть. Для этого применим формулы логарифмирования

Тогда исходное уравнение примет вид

-4- это искомый ответ

Ответ: -4

Иногда в B3 может встретиться логарифмическое уравнение, в котором справа стоит просто число. Тогда можно просто воспользоваться определением логарифма.

Пример

Решение

Первый способ

-77-это искомый ответ

Второй способ

Или же можно было правую часть представить так

Тогда

Ответ: -77

Тригонометрические уравнения

 Тригонометрические уравнения-это известная головная боль практически всех школьников-участников ЕГЭ. Тригонометрия в школе преподносится частями. Но, как это часто бывает, где-то школьник проболел, где-то просто прогулял-короче говоря, возникает не допонимание, что ведёт к неумению, в частности, решать тригонометрические уравнения. Для увернного решения B3 Вам понадобится информация из моей статьи " Подготовка к ЕГЭ по математике: тригонометрия"

В B3 предложат решить одно из простейших тригонометрических уравнений. Теория по этому вопросы освещена в статье "Подготовка к ЕГЭ: тригонометрия". Сейчас рассмотрим типичный пример тригонометрического уравнения из B3.

Сразу применяем соответствующую формулу

Теперь нужно выразить отсюда икс.

то есть

Представленную запись ответа нужно понимать как две бесконечные серии решений, то есть

В принципе это ответ. Но в условиях заданий B3 обычно предлагают выписать в качестве ответа наибольший положительный(отрицательный) или же их сумму. Давайте выпишем наибольший отрицательный корень.

Несложным перебором видим, что он соответствует    и равен находится в первой серии решений . Это и есть наибольший отрицательный корень.

Ответ: -9