Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD. Введём  величины

отрезок, соединяющий середины DC, AB

отрезок, соединяющий середины AD, CB

отрезок, соединяющий середины диагоналей

Получим некоторые полезные соотношения

Сложим их ( учтём, что  и ) получим

Аналогично  и

Тогда

Распишем

Далее по теореме косинусов имеем

Аналогично

Тогда

Итак

Аналогично получим  и

Теорема косинусов для четырёхугольника

Переходя к векторам можем получить

Итак

Соотношение Бретшнайдера

Верно следующее соотношение

Доказательство

Построим  и

Тогда запишем

Тогда по теореме косинусов для .

Заметьте, что ,

Теперь можем записать

Площадь четырёхугольника. Формула Брахмагупты

Легко получить(сделайте это самостоятельно!), что площадь четырёхугольника равна . На чертеже параллелограмм

Можно доказать, что  

Из этой формулы следует, что если четырёхугольник вписан, то - формула Брахмагупты