На своих занятиях по геометрии я рассматриваю формулы, которые, как правило, специально не изучаются в школе, но они значительно упрощают жизнь сдающего ЕГЭ и другие проверочные работы. Здесь я приведу примеры таких формул.
Очень простые, но полезные формулы проекций
Пусть дан треугольник ABC со сторонами a, b,c. Тогда справедливы соотношения
Эти формулы легко получить, если внимательно разглядеть рисунок вверху
align="justify">Формулы площади треугольника
В любом школьном учебнике получены четыре основные формулы для площади треугольника
(*) 
(**) 
(***) 
(****)
Полезно знать ещё пять
- Формула Герона. По теореме косинусов имеем
.
Тогда 
2.
Рассмотрим треугольник ABC. Пусть O-центр описанной окружности. Тогда
То есть получена искомая формула 
3.
(получить самостоятельно)
4. 
(получить самостоятельно. Указание: доказать,что расстояние от вершины треугольника ABC со сторонами a,b,c до точки касания вписанной окружности равно
См.рис.)
5. 
(получить самостоятельно)
Формулы для площади треугольника очень важны так как они(и их следствия) лежат в основе метода площадей,который очень полезен для решения геометрических задач. В основе этого метода лежат следующие факты:
- Аддитивность площади:площадь фигуры равна сумме площадей фигур,на которые можно разбить искомую фигуру
- Из формулы для площади треугольника (*) следует утверждение:если у двух треугольников равны их основания,то их площади относятся как высоты; если же у двух треугольников равны высоты,то их площади относятся как основания
- из формулы для площади треугольника (**) следует утверждение:если у двух треугольников найдутся равные углы,то отношение площадей таких треугольников равно отношению произведений сторон заключающие эти углы
Используя формулы проекций и полученную 3 формулу для площади получите важное соотношение
. Эта формула имеет очень полезное следствие (теорема Карно). Сумма расстояний от центра описанной окружности до его сторон(
) равно сумме радиусов вписанной и описанной окружности, то есть 
Теорема Штейнера. Пусть дан треугольник ABC. Через вершину A проведём две прямые, которые пересекают сторону BC в точках M и N причём 
. Тогда
Доказательство
Перемножим эти два равенства 
Учащимся