ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

В школьном курсе геометрии рассматривается важнейшее неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Но в геометрии существует довольно много других полезных неравенств. В школе им, как правило, уделяется мало времени. На своих занятиях я рассматриваю неравенства, которые помогают в решении различных геометрических задач. Их знание позволяет оценить разумность полученного ответа, что важно при решении задач ЕГЭ уровня B и  С.  Здесь приведу некоторые из них.

Вот неравенства, которые следуют из неравенства треугольника (убедитесь в этом самостоятельно)

1. Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD больше суммы двух противоположных сторон
2. Сумма расстояний от точки лежащей внутри треугольника до его вершин больше его полупериметра
3. В любом треугольнике сумма синусов двух углов больше синуса его третьего угла

Полезные неравенства можно получит из известных формул.

1. Из формулы Эйлера (её можно найти в статье “ Интересные теоремы геометрии”) следует неравенство

1. Из  ( оно рассмотрено в разделе “ Некоторые полезные соотношения геометрии треугольника”)

следует неравенство                                      (*)

Далее рассмотрим следующие алгебраические соотношения

-среднее арифметическое

-среднее геометрическое

-среднее квадратичное

- среднее гармоническое

Можно доказать, что (полезное соотношение)

Используя это алгебраическое неравенство легко понять, что в треугольнике ABC .  В самом деле, средне арифметическое не больше средне арифметического, то есть . Из (*) следует , то есть . Тогда окончательно получаем