C2 в ЕГЭ по математике: некоторые базовые определения и теоремы

Задания C2 в КИМах ЕГЭ по математике-это стереометрическая задачка, которая проверяет базовые умения и навыки учащегося в решении задач по стереометрии. Для успешного её решения нужно владеть базовой теорией, а в некоторых случаях уметь применять векторы и метод координат. Векторы,метод координат и как они помогают в решении C2 здесь и здесь, соответственно. А в этой статье рассмотрим следующие ключевые понятия в стереометрии:

Понимание этих вопрос имеет решающее значение для успешного решения C2 в ЕГЭ по математике.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости

Теорема(признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из двух пресекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости

Важнейшая теорема!(ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ)

Для того, чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной к этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

Вот картинка

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если одна из них содержит прямую перпендикулярную другой плоскости

Из этого определения вытекает сразу полезное свойство:

Если две плоскости   и перпендикулярны, то все перпендикуляры, проведённые из точек плоскости к плоскости лежат в плоскости .

Теорема.

Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то прямая их пересечения перпендикулярна этой(третьей) плоскости

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

В этом вопросе у учащихся возникают традиционные трудности с определением угла и расстояния между скрещивающимися прямыми. Это, видимо, связано с тем, что слово “скрещивающийся” ими трактуется по-бытовому: кто-то с кем-то должен скрещиваться. На самом деле, никто ни с кем не скрещивается и даже не касается.

Определение: скрещивающиеся прямые- это прямые, которые лежат в разных плоскостях

Следующая теорема очень важна, так как именно она позволяет решать геометрически все возможные задачи C2 на скрещивающиеся прямые.

Теорема

существует единственная пара параллельных плоскостей, одна из которых содержит одну из двух скрещивающихся прямых и параллельна второй прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми- это длина их общего перпендикуляра

Вот картинка

Расстояние между прямыми A1D и D1C равно FG

Угол между скрещивающимися прямыми- это угол между пересекающимися прямыми, параллельные рассматриваемым скрещивающимся прямым.

 Более подробно эти и другие вопросы я обсуждаю на своих дистанционных курсах по подготовке к ЕГЭ по математике

Тематические вопросы я также готов обсудить на нашем форуме