В школьной математике есть темы, которые традиционно плохо рассматриваются учителями. Я не буду касаться причин этого, так как это моё личное мнение. К таким темам в первую очередь относятся векторы и преобразования. Они, безусловно, сложны для восприятия учащимися школы, так как векторы и преобразования- это форточки в большую математику. Так например дойдя до векторов учащиеся впервые сталкиваются с тем что математика это не только цифры, но и наука об объектах(рукотворных) иной природы, для которых интуитивные представления не всегда работают, а нужно чётко воспринять теорию: определения, свойства, теоремы. В принципе векторы не нужны для ЕГЭ по математике(хотя они значительно облегчают решение задач по стереометрии,что будет показано на форуме (www.forum.ya-repetitor.ru) при обсуждении задачи C2) , но они, конечно, необходимы для восприятия физики и сдачи ЕГЭ по физике. Преобразование, честно сказать, это важнейшее понятие высшей математики. В школе рассматриваются простейшие частные его случаи: движение и гомотетия. Подробно с ними должны познакомиться лишь только те учащиеся, которые собираются учиться в технических ВУЗах.

Векторы

    src="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js">

Определение. Вектор- это направленный отрезок, то есть отрезок у которого один конец назначается началом, а другой концом и задано направление: от начала к концу.

Чтобы задать вектор нужно указать длину отрезка и его направление.

Таким образом, вектор это математический объект число со стрелкой. Число-это длина отрезка, стрелка указывает направление. Повесив на число стрелку с ним уже нельзя обращаться как с числом. Вот, например,.

Так как сложение векторов это математическая операция которая имеет строгое определение (правило треугольника и параллелограмма. Это простой момент в любой учебнике он достойно описан.рассмотрите его самостоятельно или свяжитесь со мной по e-mail)

Рассмотрим моменты, которые традиционно не усваиваются школьниками

Определение. Проекция вектора на числовую ось-это длина отрезка между проекциями его начала и конца.

Замечание. Проекция точки на ось-это основание перпендикуляра, опущенного из точки на эту ось.

Определение. Координаты вектора- это его проекции на координатные оси (см.рис.)

Пусть дан вектор тогда согласно определению координат вектор имее по оси X координату , а по оси Y координату

Теперь рассмотрим некоторые формулы. Пусть задан вектор и известны координаты его начала и конца и

Тогда абсцисса  равна , а ордината равна . Следовательно,если известны координаты начала и конца вектора, то его координаты равны разности соответствующих координат его конца и начала, то есть .

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора имеем . Это и есть формула длины вектора

Замечание автора: в этой формуле опечатка. Конечно же, под корнем не разность квадратов координат вектора, а их сумма. Извините. Пожалуйста, если Вы увидите опечатки пишите автору. Спасибо.

Замечание. Очевидно, что этой формулой можно пользоваться для вычисления расстояния между двумя точками(например,A и B см.рис.)

Теперь введём в декартовой системе координат (для простоты двухмерной) два вектора и . Их называют ортами, или базисными векторами

Определение. Будем говорить, что вектор разложен по векторам и , если имеет место быть равенство ,где и -числа, которые называются коэффициентами разложения

Научимся раскладывать любой вектор по ортам.

Пусть дан вектор

Тогда по правилу параллелограмма имеем . Как следует из рисунка , 

Тогда , то есть мы получили искомое разложение

Теперь рассмотрим важную математическую операцию: скалярное произведение векторов. Её ценность заключается в том, что она переводит объекты одной природы(в нашем случае векторы)  в числа. Итак…

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению длин векторов на косинус угла между ними

Обозначение. -это обозначение(символ) скалярного произведения

Итак согласно определению можем записать , - угол между векторами и

Свойства

1.     

2.      , где -число

3.     

4.     

Теорема. Пусть и . Тогда

Докажите это утверждение самостоятельно. Нужно разложить векторы по ортам, воспользоваться свойствами скалярного произведения, а также формулами, которые следуют из определения скалярного произведения:  и

Теорема (критерий перпендикулярности векторов). Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной, либо параллельных прямых

Теорема(критерий коллинеарности векторов). Ненулевые векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны

Движение

(рекомендую разобраться  в теоремах ниже. На первый взгляд простые, но в них имеется стиль серьёзной математики)

пусть имеется два множества A и B. Будем называть преобразованием правило, посредством которого из A делаются B и выполнятся правило: одному элементу из A соответствует один элемент из B. Так вот движение это такое преобразование, при котором сохраняются расстояния, то есть

Теорема. Прямая преобразуется в прямую при движении.

Пусть заданно движение f точек A, B точек такое, что и .

Проведём прямую через и . Тогда , где

Следствия. При движении луч отображается в луч, угол - в угол, отрезок- в отрезок, полуплоскость- в полуплоскость. (осознайте это самостоятельно)

Теорема (о задании движения). Пусть имеются три неколлинеарные (*) точки A, B,C, а также A₁, B₁, C₁. Таких, что AB=A₁B₁; BC=B₁C₁; AC=A₁C₁. Тогда существует движение f такое, что A₁=f(A), B₁=f(B), C₁=f(C) и оно единственно

Доказательство

Зададим преобразование f такое что M в M1 при этом AM=A1M1 и BM=B1M1. Докажем, что f-это движение. Для этого рассмотрим N1=f(N) и докажем, что MN=M1N1. В самом деле, и  . Тогда равны  . То есть f  движение. Докажем, что оно единственно. Предположим, что существует движение g: . Тогда будет находиться в другой полуплоскости , что есть противоречие, так как при движении полуплоскость переходит в полуплоскость. Значит движение единственно и оно f

Примеры

К движениям относятся такие преобразования как центральная и осевая симметрия, поворот, перенос

(*)три точки называются коллинеарными, если он лежат на одной прямой. Термин заимствован из теории векторов. Вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых,  или на одной прямой. Так как точка-это нулевой вектор, то  естественно называть точки лежащие на одной прямой коллинеарными.

Гомотетия

Определение. Гомотетией с центром O и коэффициентом k0 плоскости называется преобразование плоскости, которое каждую точку X отображает на такую точку X’, что

Обозначение: -гомотетия с центром в O и коэффициентом k

Лемма. Если A’ и B’ образы точек A и B при гомотетии , то

                                                                                               Доказательство

Действительно, по условию леммы имеем

Теорема. Гомотетия каждую прямую отображает на прямую